Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Trigonalgestalt/Explizit/Beispiel

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\lambda &\gamma \\0&\mu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,.$

Für

${}v_{2}(t)=0\,$

(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort ${}v_{1}=e^{\lambda t}$, was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)

${\begin{pmatrix}e^{\lambda t}\\0\end{pmatrix}}$

zum Eigenvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ gemäß Fakt entspricht.

Es sei nun ${}v_{2}\neq 0$. Dann führt die zweite Zeile zu ${}v_{2}=e^{\mu t}$, was wir Fakt entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit

${}v_{1}'=\lambda v_{1}+\gamma e^{\mu t}\,.$

Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist ${}c\cdot e^{\lambda t}$, sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz ${}v_{1}(t)=c(t)\cdot e^{\lambda t}$ mit

${}c'(t)=\gamma \cdot e^{\mu t}\cdot e^{-\lambda t}=\gamma \cdot e^{(\mu -\lambda )t}\,$

ergibt.

Bei ${}\mu =\lambda$ ergibt sich ${}c(t)=\gamma t$ und damit die zweite Fundamentallösung

${}v(t)={\begin{pmatrix}\gamma te^{\lambda t}\\e^{\lambda t}\end{pmatrix}}\,.$

Bei ${}\gamma \neq 0$ gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.

Bei ${}\mu \neq \lambda$ ergibt sich ${}c(t)={\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{(\mu -\lambda )t}$ und damit die zweite Fundamentallösung

${}v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}e^{\mu t}\\e^{\mu t}\end{pmatrix}}=e^{\mu t}{\begin{pmatrix}{\frac {\gamma }{\mu -\lambda }}\\1\end{pmatrix}}\,.$

Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.