Logarithmus/X^2+X+1/Ableitung/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung ist ${}2x+1$, die einzige Nullstelle der Ableitung ist bei  ${}x=-{\frac {1}{2}}$,  in diesem Punkt nimmt die Funktion ihr Minimum an mit dem Wert

   ${}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{2}}+1={\frac {3}{4}}>0\,,$

   also ist die Funktion überall positiv.

2. Nach der Kettenregel ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(\ln \left(x^{2}+x+1\right)\right)}'&={\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}\\\end{aligned}}$

3. Da ${}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}$ stets positiv ist, ist die Ableitung ${}{\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}$ für  ${}x<-{\frac {1}{2}}$  negativ und für  ${}x>-{\frac {1}{2}}$  positiv. Daher ist nach Fakt ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ für  ${}x<-{\frac {1}{2}}$  streng fallend und für  ${}x>-{\frac {1}{2}}$  streng wachsend und nimmt bei  ${}x=-{\frac {1}{2}}$  ihr globales isoliertes Minimum mit dem Wert ${}\ln {\frac {3}{4}}$ an.
4. Die Gleichung  ${}x^{2}+x+1=1$  führt auf  ${}x=0$  oder  ${}x=-1$,  für  ${}-1<x<0$  ist  ${}x^{2}+x+1<1$  und somit ist auf dem offenen Intervall ${}]-1,0[$ die Funktion ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ.

Zur gelösten Aufgabe