Lokal beringter Raum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein beringter Raum heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt der Halm ein lokaler Ring ist.


Beispiel  

Ein topologischer Raum ist mit der Garbe der stetigen Funktionen ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt und eine in einer offenen Umgebung von definierte stetige Funktion gilt genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der invertierbar ist. Daher sind die Halme lokale Ringe und ist lokal beringt.


Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.


Definition  

Zu einem lokal beringten Raum und einem Punkt nennt man den Restekörper des lokalen Ringes den Restekörper von . Er wird mit bezeichnet.

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach , siehe Aufgabe.


Definition  

Zu einem lokal beringten Raum , einem Punkt und einer globalen Funktion nennt man den Wert von im Restekörper von die Auswertung von in . Sie wird mit bezeichnet.

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem und jedem Punkt die Äquivalenz in genau dann, wenn genau dann, wenn ist keine Einheit in .