Lokal beringter Raum/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Beispiel

Ein topologischer Raum ${}X$ ist mit der Garbe der stetigen Funktionen ${}C^{0}(-,\mathbb {R} )$ ein lokal beringter Raum: Für jeden Punkt ${}P\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierte stetige Funktion ${}f$ gilt ${}f(P)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der ${}f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${}{\mathcal {O}}_{P}$ lokale Ringe und ${}X$ ist lokal beringt.

Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von ${}P$. Er wird mit ${}\kappa (P)$ bezeichnet.

Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach ${}\mathbb {R}$, siehe Aufgabe.

Definition

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt ${}x\in X$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von ${}f$ im Restekörper ${}\kappa (x)$ von ${}x$ die Auswertung von ${}f$ in ${}x$. Sie wird mit ${}f(x)$ bezeichnet.

IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ und jedem Punkt ${}P\in X$ die Äquivalenz ${}f(P)=0$ in ${}\kappa (P)$ genau dann, wenn ${}f_{P}\in {\mathfrak {m}}_{P}$ genau dann, wenn ${}f_{P}$ ist keine Einheit in ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$.