Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring, ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul und

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung von ${}M$.

Dann ist der Rang von ${}F_{i}$ gleich der ${}R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von ${}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit ${}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$.

Einen Beweis erstellen