Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von . Bei ist und es liegt ein Körper vor. Sei die Aussage für reguläre Ringe kleiner Dimension schon bewiesen. Es seien die minimalen Primideale von . Es ist und zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf und an. Es ist , da die Dimension zumindest ist, und es ist , denn sonst wäre . Somit ist , d.h. es gibt ein , das in keinem minimalen Primideal und nicht in enthalten ist. Nach Fakt ist ein reguärer Ring der Dimension , es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ein Primideal in . Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

für ein , und die Inklusion muss nach der Wahl von echt sein. Somit muss

mit einem Ideal sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit folgt

und somit

Die Gleichheit

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama .

Zur bewiesenen Aussage