Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension ${}d$ von ${}R$. Bei ${}d=0$ ist ${}{\mathfrak {m}}=0$ und es liegt ein Körper vor. Es sei die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ die minimalen Primideale von ${}R$. Es ist ${}n=1$ und ${}{\mathfrak {p}}_{1}=0$ zu zeigen. Wir wenden Fakt auf diese Primideale und auf ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}$ und ${}{\mathfrak {b}}={\mathfrak {m}}^{2}$ an. Es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$, da die Dimension zumindest ${}1$ ist, und es ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}$, denn sonst wäre ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=0$. Somit ist ${}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$, d.h. es gibt ein ${}h\in {\mathfrak {m}}$, das in keinem minimalen Primideal und nicht in ${}{\mathfrak {m}}^{2}$ enthalten ist. Nach Fakt ist ${}R/(h)$ ein regulärer Ring der Dimension ${}d-1$, es ist also ein Integritätsbereich nach Induktionsvoraussetzung. Somit ist das Hauptideal ${}(h)$ ein Primideal in ${}R$. Da jedes Primideal ein minimales Primideal umfasst, gilt

${}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq (h)\,$

für ein ${}i$, und die Inklusion muss nach der Wahl von ${}h$ echt sein. Somit muss

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {a}}\cdot (h)\,$

mit einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ sein. Aus der Primeigenschaft in Verbindung mit ${}h\notin {\mathfrak {p}}_{i}$ folgt

${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}\,$

und somit

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}\cdot (h)\,$

erzwingt aber nach dem Lemma von Nakayama ${}{\mathfrak {p}}_{i}=0$.

Zur bewiesenen Aussage