Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen $T\subseteq N$ durch

   $\nu (T):=\mu ({\phi }^{-1}(T))$

   definierte Maß auf $N$.

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum $(M,𝒜,\mu )$ mit $\mu (M)=1$.
3. Man nennt

   $P=\{a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n\mid a_i\in [0,1]\}$

   das von den $v_i$ erzeugte Parallelotop.

4. Man nennt das für jede messbare Teilmenge  $T\subseteq M$  durch

   $\nu (T):={\int }_{T}gd\mu$

   definierte Maß auf $M$ das Maß zur Dichte $g$.

5. Ein metrischer Raum $M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem  $ϵ>0$  endlich viele Punkte  $x_1,\dots ,x_n\in M$  derart gibt, dass

   $M=\bigcup _{i=1}^{n}U(x_i,ϵ)$

   gilt.

6. Ein $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Hilbertraum.

Zur gelösten Aufgabe