Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt die von allen Quadern

   $S_{1}\times \cdots \times S_{n}{\text{ mit }}S_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n$

   auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Produkt-Sigma-Algebra der ${}(M_{i},{\mathcal {A}}_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$.

2. Eine einfache Funktion ist eine messbare numerische Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},$

   die nur endlich viele Werte besitzt.

3. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
4. Der positive Teil von ${}f$ ist  ${}f_{+}={\operatorname {sup} \,{\left(f,0\right)}}$. 
5. Die ${}p$-Norm von ${}f$ ist

   ${}\Vert {f}\Vert _{p}:={\left(\int _{X}\vert {f}\vert ^{p}d\mu \right)}^{1/p}\,.$

6. Ein metrischer Raum ${}M$ heißt total beschränkt, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  endlich viele Punkte  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M$  derart gibt, dass

   ${}M=\bigcup _{i=1}^{n}U{\left(x_{i},\epsilon \right)}\,$

   gilt.

Zur gelösten Aufgabe