Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}n$ ${}\sigma$-endliche Maßräume ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$ gegeben. Dann gibt es genau ein (${}\sigma$-endliches) Maß ${}\mu$ auf der Produkt-${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$, das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert

   ${}\mu (T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1}){\cdots }\mu _{n}(T_{n})\,$

   besitzt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und es sei

   $f_{n}\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f_{n}(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und alle ${}x\in M$. Dann ist auch die Grenzfunktion ${}f=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}$ integrierbar, und es gilt

   ${}\int _{M}f\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}\,d\mu \,.$

3. Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Orthonormalsystem. Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$ die Familie ${}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}$, ${}i\in I$, summierbar und es gilt

   ${}\sum _{i\in I}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\leq \Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Zur gelösten Aufgabe