Maße auf Mannigfaltigkeiten/Allgemeines/Ansatz mit Dichten/Bemerkung

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit. Gibt es ein sinnvolles Volumen für (Teilmengen von) ${}M$, wann kann man eine auf ${}M$ definierte Funktion sinnvoll integrieren? Wenn man die Maßtheorie als allgemeines Konzept zugrunde legt, so ergibt sich folgendes Bild: es sei vorausgesetzt, dass ${}M$ einen abzählbaren Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i},i\in I)$ besitzt. Ein Maß ${}\mu$ auf den Borelmengen ${}{\mathcal {B}}(M)$ ist dann durch die Einschränkungen ${}\mu _{i}=\mu {|}_{U_{i}}$ des Maßes auf die offenen Teilmengen ${}U_{i}$ eindeutig bestimmt. Für jedes ${}i\in I$ definiert die Homöomorphie

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

das Bildmaß ${}\nu _{i}={\alpha _{i}}_{*}\mu _{i}$ auf ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dabei stehen die Bildmaße ${}\nu _{i}$, ${}i\in I$, untereinander in der Beziehung

${}\nu _{i}(\alpha _{i}(T))=\mu (T)=\nu _{j}(\alpha _{j}(T))\,$

für jede messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}\cap U_{j}$. Mit den Kartenwechseln ${}\psi _{ij}=\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}$ bedeutet dies

${}\nu _{i}(S)=\nu _{j}(\psi _{ij}(S))\,$

für jede messbare Menge ${}S\subseteq V_{i}$, die ganz innerhalb des Definitionsbereiches der Übergangsabbildung liegt.

Nehmen wir nun an, dass sich die Bildmaße ${}\nu _{i}$ jeweils mit einer Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes ${}\lambda ^{n}$ schreiben lassen, sagen wir

${}\nu _{i}=g_{i}d\lambda ^{n}\,,$

mit auf ${}V_{i}$ definierten integrierbaren Funktionen ${}g_{i}\colon V_{i}\rightarrow \mathbb {R}$. Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}$ gilt dann also

${}\mu (T)=\nu _{i}(\alpha _{i}(T))=\int _{\alpha _{i}(T)}g_{i}\,d\lambda ^{n}\,.$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ gilt somit nach der Transformationsformel, angewendet auf die diffeomorphe Übergangsabbildung

$\psi _{ij}\colon \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j}),$

die ${}\alpha _{i}(T)$ in ${}\alpha _{j}(T)$ überführt, die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\int _{\alpha _{i}(T)}g_{i}\,d\lambda ^{n}&=\int _{\alpha _{j}(T)}g_{j}\,d\lambda ^{n}\\&=\int _{\alpha _{i}(T)}\vert {\det {\left(D\psi _{ij}\right)}}\vert \cdot (g_{j}\circ \psi _{ij})\,d\lambda ^{n}.\end{aligned}}$

Dies legt für die Dichtefunktionen ${}g_{i}$, ${}i\in I$, das Transformationsverhalten

${}g_{i}=\vert {\det {\left(D\psi _{ij}\right)}}\vert \cdot (g_{j}\circ \psi _{ij})\,$

nahe (auch wenn es dies nicht erzwingt, da eine Dichte durch ihr Maß nicht eindeutig bestimmt ist). Wir werden die Integrationstheorie für Mannigfaltigkeiten auf dem Konzept der ${}n$-Differentialformen aufbauen, die in natürlicher Weise dieses Transformationsverhalten (ohne den Betrag) besitzen.