Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Wegen können wir annehmen (aber mit unterschiedlichen Kartenabbildungen und nach bzw. ). Es sei

der diffeomorphe Kartenwechsel. Dann gelten nach Fakt und nach Fakt, und da wegen der Positivität von und von auch die Determinante positiv ist, die Gleichheiten


(2). Es sei , , eine abzählbarer Atlas. Dann kann man die Mengen nehmen.
(3). Es seien zwei abzählbare disjunkte messbare Zerlegungen, deren Glieder jeweils in Karten enthalten seien. Die Karten seien einerseits mit den die Form beschreibenden Funktionen und andererseits mit den die Form beschreibenden Funktionen . Wir betrachten die ebenfalls abzählbare Zerlegung, die durch die Mengen , , gegeben ist. Nach Fakt (angewendet auf die einzelnen Kartenbilder) gilt dann unter Verwendung von Teil (1)


Zur bewiesenen Aussage