Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zu einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit  ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$  und einer messbaren Teilmenge  ${}T\subseteq U$  setzen wir

${}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn  ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$  zwei Kartenumgebungen sind, so ist  ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$. 
2. Zu einer messbaren Teilmenge  ${}T\subseteq M$  gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung  ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$  derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.
3. Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen