Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt

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Es sei eine -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Topologie und es sei eine positive Volumenform auf . Zu einer Karte

mit und einer messbaren Teilmenge setzen wir

Dann gelten folgende Eigenschaften.
  1. Wenn zwei Kartenumgebungen sind, so ist .
  2. Zu einer messbaren Teilmenge gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung derart, dass jedes ganz in einer Karte liegt.
  3. Die Summe ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen