Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Zu einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha _{*}(\omega {|}_{U})=fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ und einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq U$ setzen wir

${}\nu (\alpha ,T):=\int _{\alpha (T)}f\,d\lambda ^{n}\,$

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Wenn ${}T\subseteq U_{1},U_{2}$ zwei Kartenumgebungen sind, so ist ${}\nu (\alpha _{1},T)=\nu (\alpha _{2},T)$.
2. Zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ gibt es eine abzählbare disjunkte Vereinigung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ derart, dass jedes ${}T_{i}$ ganz in einer Karte ${}U_{i}$ liegt.
3. Die Summe ${}\sum _{i\in I}\nu (\alpha _{i},T_{i})$ ist unabhängig von der gewählten abzählbaren disjunkten Zerlegung in (2).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen