Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei die offene Überdeckung , , gegeben. Ferner sei , , eine kompakte Ausschöpfung von , die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt ein minimales mit (es sei ) gibt. Für dieses ist und . Indem wir die Durchschnitte betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem liegen.
Zu jedem Punkt gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung , die in einem der liegt und für die es Ballumgebungen

gibt mit und . Diese , , bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von . Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten , , zusammen mit Ballumgebungen

derart gegeben ist, dass auch , , eine offene Überdeckung von ist, dass jedes in einem liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.
  Wir werden eine Teilmenge definieren derart, dass die Familie , , auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu betrachten wir die kompakte Menge . Diese wird von endlich vielen der , , überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes mit der Eigenschaft, dass in liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit bezeichnet, und sei . Dann wird jedes nur von endlich vielen der , , getroffen.

Zur bewiesenen Aussage