Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die offene Überdeckung ${}W_{i}$, ${}i\in I$, gegeben. Ferner sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine kompakte Ausschöpfung von ${}M$, die es nach Fakt gibt. Die offenen Mengen ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ bilden ebenfalls eine offene Überdeckung, da es zu jedem Punkt ${}P\in M$ ein minimales ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}P\in A_{n}$ (es sei ${}A_{-1}=\emptyset$) gibt. Für dieses ${}n$ ist ${}P\not \in A_{n-1}$ und ${}P\in A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}$. Indem wir die Durchschnitte ${}W_{i}\cap {\left(A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}\right)}$ betrachten, können wir annehmen, dass alle Mengen der Überdeckung innerhalb von einem ${}A_{n+1}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegen.
Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es eine offene (verträgliche) Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$, die in einem der ${}W_{i}$ liegt und für die es Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{P}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{P}\right)\subset V_{P}\,$

gibt mit ${}P\in \alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$ und ${}\delta _{P}<\epsilon _{P}$. Diese ${}\alpha _{P}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{P}\right)}\right)}$, ${}P\in M$, bilden dann ebenfalls eine offene Überdeckung von ${}M$. Nach Aufgabe können wir zu einer abzählbaren Teilüberdeckung davon übergehen. Wir können also annehmen, dass ein System von Karten ${}U_{j}$, ${}j\in \mathbb {N}$, zusammen mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

derart gegeben ist, dass auch ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, eine offene Überdeckung von ${}M$ ist, dass jedes ${}U_{j}$ in einem ${}W_{i(j)}$ liegt und dass die oben beschriebene Beziehung zu der kompakten Ausschöpfung gilt.
  Wir werden eine Teilmenge ${}J\subseteq \mathbb {N}$ derart definieren, dass die Familie ${}U_{j}$, ${}j\in J$, auch noch die Endlichkeitseigenschaft erfüllt. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ betrachten wir die kompakte Menge ${}A_{n+1}\setminus A_{n}^{o}$. Diese wird von endlich vielen der ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in \mathbb {N}$, überdeckt, und zwar braucht man dazu nur Indizes ${}j$ mit der Eigenschaft, dass ${}U_{j}$ in ${}A_{n+2}^{o}\setminus A_{n-1}$ liegt. Die zugehörige endliche Indexmenge sei mit ${}J_{n}$ bezeichnet, und sei ${}J=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}$. Dann wird jedes ${}A_{n}$ nur von endlich vielen der ${}U_{j}$, ${}j\in J$, getroffen.

Zur bewiesenen Aussage