Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbeneigenschaft/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge  ${}U\subseteq M$  betrachten wir die Menge ${}C^{1}(U,\mathbb {R} )$ der differenzierbaren Funktionen auf ${}U$. Es sei  ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung.

a) Zeige, dass zu  ${}V\subseteq U$  offen und  ${}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )$  auch die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ zu ${}C^{1}(V,\mathbb {R} )$ gehört.

b) Es sei  ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$.  Zeige, dass  ${}f=0$  genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen  ${}f{|}_{U_{i}}=0$  sind.

c) Es sei eine Familie  ${}f_{i}\in C^{1}(U_{i},\mathbb {R} )$  von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

für alle ${}i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein  ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$  gibt mit  ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}$  für alle ${}i$.

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