Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbeneigenschaft/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq M$ betrachten wir die Menge ${}C^{1}(U,\mathbb {R} )$ der differenzierbaren Funktionen auf ${}U$. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung.

1. Zeige, dass zu ${}V\subseteq U$ offen und ${}f\in C^{1}(U,\mathbb {R} )$ auch die Einschränkung ${}f{|}_{V}$ zu ${}C^{1}(V,\mathbb {R} )$ gehört.
2. Es sei ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$. Zeige, dass ${}f=0$ genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen ${}f{|}_{U_{i}}=0$ sind.
3. Es sei eine Familie ${}f_{i}\in C^{1}(U_{i},\mathbb {R} )$ von Funktionen gegeben, die die „Verträglichkeitsbedingung“

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\,$

   für alle ${}i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ gibt mit ${}f{|}_{U_{i}}=f_{i}$ für alle ${}i$.

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