Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen auf ${}M$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g\colon M\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. ${}f+g$ ist differenzierbar.
3. ${}f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn ${}f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch ${}f^{-1}$ differenzierbar.

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