Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f,g:M⟶ℝ$

differenzierbare Funktionen auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Abbildung

   $f\times g:M⟶{ℝ}^2,x⟼(f(x),g(x)),$

   ist differenzierbar.
2. $f+g$ ist differenzierbar.
3. $f\cdot g$ ist differenzierbar.
4. Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch $f^{-1}$ differenzierbar.

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