Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Definition

Riemannsches Vektorbündel

Ein Vektorbündel ${}p\colon E\rightarrow X$ über einer differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}X$ heißt riemannsches Vektorbündel, wenn auf jeder Faser ${}E_{x}$ ein Skalarprodukt erklärt ist mit der Eigenschaft, dass es trivialisierende Karten

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

mit

$\theta \colon E{|}_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow V\times \mathbb {R} ^{r}$

derart gibt, dass

${}h_{ij}(Q):=\left\langle \theta ^{-1}(Q,e_{i}),\theta ^{-1}(Q,e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)}\,$

stetig differenzierbar sind.