Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

2. Die Abbildung ${}f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes ${}y\in M$ mindestens ein Element ${}x\in L$ mit ${}f(x)=y$ gibt.
3. Unter der Dimension eines Vektorraums ${}V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von ${}V$.
4. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

5. Man sagt, dass die Folge den Limes ${}x$ besitzt, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem positiven ${}\epsilon >0$, ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   $\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon$

   gilt.

6. Eine Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

   heißt stetig, wenn für jedes ${}x\in \mathbb {R}$ und für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ existiert, so dass

   ${}\varphi {\bigl (}]x-\delta ,x+\delta [{\bigr )}\subseteq ]\varphi (x)-\epsilon ,\varphi (x)+\epsilon [\,$

   gilt.

7. Die eulersche Zahl ist durch

   ${}e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,$

   definiert.

8. Eine Differentialgleichung der Form

   $y'=g(t)y+h(t)$

   mit zwei auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktionen ${}t\mapsto g(t)$ und ${}t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

Zur gelösten Aufgabe