Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}N_{1}$ und ${}N_{2}$ Dedekind-Peano-Modelle für die natürlichen Zahlen. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung

   $\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2}$

   mit ${}\varphi (0_{1})=0_{2}$ und

   ${}\varphi (n')=(\varphi (n))'\,$

   für alle ${}n\in N_{1}$.
2. Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und ${}U\subseteq S$ eine Teilmenge. Es sei ${}t$ ein ${}U$-Term und ${}\alpha$ ein ${}U$-Ausdruck. Es seien zwei ${}S$-Interpretationen ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge ${}M$ gegeben, die auf ${}U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Es ist ${}I_{1}(t)=I_{2}(t)$.
   2. Es ist ${}I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}I_{2}\vDash \alpha$.
3. Es sei ${}\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist

   $\Gamma \vdash \alpha$

   genau dann, wenn

   $\Gamma \vDash \alpha .$

Zur gelösten Aufgabe