Matrix/22/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/1/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Die adjungierte Abbildung wird durch

${}N={{\overline {M}}^{\text{tr}}}={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&11+3{\mathrm {i} }\\4-5{\mathrm {i} }&6-9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben. Wegen

${}(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+(4+5{\mathrm {i} })(4-5{\mathrm {i} })=(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+41\,$

und

${}(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+(11+3{\mathrm {i} })(11-3{\mathrm {i} })=(2-3{\mathrm {i} })(2+3{\mathrm {i} })+130\,$

ist

${}M\circ N\neq N\circ M\,.$

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Fakt

keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Zur gelösten Aufgabe