Matrix/22/C/Orthonormalbasis aus Eigenvektoren/1/Aufgabe/Lösung

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}2-3\mathrm{i}& 4+5\mathrm{i}\\ 11-3\mathrm{i}& 6+9\mathrm{i}\end{array}\right).$

Die adjungierte Abbildung wird durch

$N={\bar{M}}^{\text{tr}}=\left(\begin{array}{cc}2+3\mathrm{i}& 11+3\mathrm{i}\\ 4-5\mathrm{i}& 6-9\mathrm{i}\end{array}\right)$

beschrieben. Wegen

$(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})+(4+5\mathrm{i})(4-5\mathrm{i})=(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})+41$

und

$(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})+(11+3\mathrm{i})(11-3\mathrm{i})=(2-3\mathrm{i})(2+3\mathrm{i})+130$

ist

$M\circ N\ne N\circ M.$

Der Endomorphismus ist also nicht normal und daher gibt es nach Fakt

keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.

Zur gelösten Aufgabe