Matrix/31-11/Trigonalisierbar/Ähnlichkeit/Beispiel

Wir behaupten, dass die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}\,$

trigonalisierbar ist. Die Matrix

${}B={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}\,$

ist invertierbar mit der inversen Matrix

${}B^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}\,.$

Eine direkte Rechnung zeigt

${}BMB^{-1}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-3\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}}\,.$

Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix ${}B$ aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des charakteristischen Polynoms und Fakt. Das charakteristische Polynom ist

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-3&-1\\1&X-1\end{pmatrix}}=(X-3)(X-1)+1=X^{2}-4X+4=(X-2)^{2}\,,$

zerfällt also in Linearfaktoren.