Matrix/Lineare Abbildung zu Basis/Definition

Durch Matrix festgelegte lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$  und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.  Zu einer Matrix  ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$  heißt die durch

$v_{j}\longmapsto \sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

gemäß Fakt definierte lineare Abbildung ${}\varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$ die durch ${}M$ festgelegte lineare Abbildung.