Matrix/Trigonalisierbar/Nicht diagonalisierbar/Nicht bijektiv/Nilpotent/Aufgabe/Lösung

a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix

${\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}$

ausgehen. Das charakteristische Polynom ist ${}(X-a)(X-d)$. Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar, also ist ${}a=d$. Bei ${}a=d\neq 0$ wäre die Determinante nicht ${}0$ und die Matrix wäre invertierbar. Also ist ${}a=d=0$. Daher ist

${}{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,$

und die Matrix ist nilpotent.

b) Wir betrachten

${}M={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird ${}e_{3}$ auf ${}0$ abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach Beispiel

ist ${}N={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ nicht diagonalisierbar, also ist auch ${}M$ nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von ${}N$ und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist ${}e_{1}$ ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}1$, sodass ${}M$ nicht nilpotent sein kann.

Zur gelösten Aufgabe