Matrix/Trigonalisierbar/Nicht diagonalisierbar/Nicht bijektiv/Nilpotent/Aufgabe/Lösung

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a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix

ausgehen. Das charakteristische Polynom ist . Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar, also ist . Bei wäre die Determinante nicht und die Matrix wäre invertierbar. Also ist . Daher ist

und die Matrix ist nilpotent.

b) Wir betrachten

Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach Beispiel

ist nicht diagonalisierbar, also ist auch nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert , so dass nicht nilpotent sein kann.
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