Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Fakt/Beweis

Beweis

Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Fakt angegebenen Matrix in Stufenform überein. Diese hat den Zeilenrang ${}r$, da die ersten ${}r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang ${}r$, da wiederum die ersten ${}r$ Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser ${}r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.

Zur bewiesenen Aussage