Matrix/Zeilenrang ist Spaltenrang/Umformungen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $r$ die Anzahl der relevanten Zeilen in der durch elementare Zeilenumformungen gewonnenen Matrix $M^{\prime }$ in Stufenform. Wir zeigen, dass diese Zahl sowohl mit dem Spaltenrang als auch mit dem Zeilenrang von $M^{\prime }$ und von $M$ übereinstimmt. Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Untervektorraum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang. Der Zeilenrang von $M$ stimmt also mit dem Zeilenrang von $M^{\prime }$ überein. Diese Matrix hat den Zeilenrang $r$, da die ersten $r$ Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen. Sie hat aber auch den Spaltenrang $r$, da die $r$ Spalten, in denen eine neue Stufe auftritt, linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser $r$ Spalten sind. Die Aufgabe zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert.

Zur bewiesenen Aussage