Matrizen/Verschiedene Konzepte/Textabschnitt

Definition

Die ${}n\times n$ -Matrix

{}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,

nennt man die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix ${}E_{n}$ besitzt die Eigenschaft ${}E_{n}M=M=ME_{n}$ für eine beliebige ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ . Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen.

Bemerkung

Wenn man eine ${}m\times n$ -Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}$ mit einem Spaltenvektor ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ multipliziert, so erhält man

{}Ax={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}\,.

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{m}\end{pmatrix}}$ kurz als

{}Ax=c\,

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix (unter Berücksichtigung der Störvektorseite) ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.