Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}P_{1}=(x_{1},y_{1})$ der Kreispunkt und ${}P_{2}=(x_{2},0)$ der Punkt auf der ${}x$-Achse. Die Gleichungen sind somit

   ${}x_{1}^{2}+(y_{1}-2)^{2}=1\,$

   und

   ${}(x_{1}-x_{2})^{2}+y_{1}^{2}=d^{2}\,.$

2. Die Jacobi-Matrix zu

   ${}f_{1}=x_{1}^{2}+(y_{1}-2)^{2}-1=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-4y_{1}+3\,$

   und

   ${}f_{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+y_{1}^{2}-d^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}+y_{1}^{2}-d^{2}\,$

   ist

   ${\begin{pmatrix}2x_{1}&0&2y_{1}-4\\2x_{1}-2x_{2}&2x_{2}-2x_{1}&2y_{1}\end{pmatrix}}.$

   Wir müssen (in Abhängigkeit von ${}d$) untersuchen, für welche Punkte die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung

   $\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   surjektiv ist, also den Rang ${}2$ besitzt. Der Rang ist nur dann nicht ${}2$, wenn alle Spalten linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn alle ${}2\times 2$-Minoren gleich ${}0$ sind. Dies ist genau in der Nullstellenmenge der drei Polynome (der gemeinsame Faktor ${}4$ ist schon rausgezogen)

   1. $x_{1}(x_{2}-x_{1})$

   2. $(y_{1}-2)(x_{2}-x_{1})$

   3. $x_{1}y_{1}-(x_{1}-x_{2})(y_{1}-2)$

   der Fall. Wenn

   ${}x_{1}\neq 0\,$

   ist, so muss ${}x_{1}=x_{2}$ und ${}y_{1}=0$ sein. Dies ist aber kein Punkt des Systems. Also muss

   ${}x_{1}=0\,$

   sein. Wenn ${}x_{2}\neq 0$ ist, so muss ${}y_{1}=2$ sein, doch dies erfüllt nicht die erste Gleichung des Systems. Also ist ${}x_{2}=0$. Dann ergeben die Gleichungen des Systems ${}(y_{1}-2)^{2}=1$ und ${}y_{1}^{2}=d^{2}$. Die erste Gleichung erzwingt

   ${}y_{1}=1{\text{ oder }}3\,$

   und somit muss

   ${}d=1{\text{ oder }}3\,$

   sein. Das bedeutet, dass genau bei ${}d\neq 1,3$ das System in jedem Punkt regulär ist.

3. Bei

   ${}d=1\,$

   ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt ${}(0,0,1)$ der einzige kritische Punkt, und dies ist überhaupt der einzige Punkt des Systems, was die Singularität erklärt.

   Bei

   ${}d=3\,$

   ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt ${}(0,0,3)$ der einzige kritische Punkt des Systems. Es liegt ein Kreuzungspunkt vor, da sich in diesem Punkt die Stange in vier Richtungen bewegen kann, nämlich beide Koordinaten ${}(x_{1},x_{2})$ ins Positive, beide ins Negative, oder gemischt.

Zur gelösten Aufgabe