Mechanisches System/Kreis/Gerade/Disjunkt/Regularität über Jacobi-Matrix/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei der Kreispunkt und der Punkt auf der -Achse. Die Gleichungen sind somit

    und

  2. Die Jacobi-Matrix zu

    und

    ist

    Wir müssen (in Abhängigkeit von ) untersuchen, für welche Punkte die durch diese Matrix gegebene lineare Abbildung

    surjektiv ist, also den Rang besitzt. Der Rang ist nur dann nicht , wenn alle Spalten linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn alle -Minoren gleich sind. Dies ist genau in der Nullstellenmenge der drei Polynome (der gemeinsame Faktor ist schon rausgezogen)

    der Fall. Wenn

    ist, so muss und sein. Dies ist aber kein Punkt des Systems. Also muss

    sein. Wenn ist, so muss sein, doch dies erfüllt nicht die erste Gleichung des Systems. Also ist . Dann ergeben die Gleichungen des Systems und . Die erste Gleichung erzwingt

    und somit muss

    sein. Das bedeutet, dass genau bei das System in jedem Punkt regulär ist.

  3. Bei

    ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt der einzige kritische Punkt, und dies ist überhaupt der einzige Punkt des Systems, was die Singularität erklärt.

    Bei

    ist aufgrund der Überlegungen im vorhergehenden Abschnitt der einzige kritische Punkt des Systems. Es liegt ein Kreuzungspunkt vor, da sich in diesem Punkt die Stange in vier Richtungen bewegen kann, nämlich beide Koordinaten ins Positive, beide ins Negative, oder gemischt.

Zur gelösten Aufgabe