Mehrere Variablen/Taylor-Formel/Abschätzung auf Ballumgebung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt gibt es zu jedem  $v\in U(0,ϵ)$  ein (von $v$ abhängiges)  $c\in [0,1]$  mit

$\begin{array}{cc}f(P+v)& =\sum _{|r|\le k-1}\frac{1}{r!}{D}^{r}f(P)\cdot v^r+\sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}{D}^{r}f(P+cv)\cdot v^r\\ & =\sum _{|r|\le k}\frac{1}{r!}{D}^{r}f(P)\cdot v^r+\sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}(D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P))v^r.\end{array}$

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion $R_k$, die wir abschätzen müssen. Wegen

$\begin{array}{cc}\Vert R_k(v)\Vert & \le \sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}\Vert D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\Vert \cdot \Vert v^r\Vert \\ & =\sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}\Vert D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\Vert \cdot |v_1^{r_1}|\cdots |v_n^{r_n}|\\ & \le \sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}\Vert D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\Vert \cdot \Vert v{\Vert }^{r_1}\cdots \Vert v{\Vert }^{r_n}\\ & =\sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}\Vert D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\Vert \cdot \Vert v{\Vert }^k\end{array}$

ist

$\frac{\Vert R_k(v)\Vert }{\Vert v{\Vert }^k}\le \sum _{|r|=k}\frac{1}{r!}\Vert D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)\Vert .$

Da nach Voraussetzung die $k$-ten Richtungsableitungen stetig

sind, existiert für jede einzelne Funktion $D^{r}f(P+cv)-D^{r}f(P)$ der Limes für $v\to 0$ und ist gleich $0$. Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.

Zur gelösten Aufgabe