Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen durch Induktion über ${}k$, dass

$h^{(k)}(t)=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\,$

gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge ${}k$ aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für ${}k=1$ ist

${}{\begin{aligned}h'(t)&={\left(D_{v}f\right)}{\left(P+tv\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(v\right)}\\&={\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot {\left(Df\right)}_{P+tv}{\left(e_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}v_{j}\cdot D_{j}f(P+tv).\end{aligned}}$  

Der Induktionsschluss ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}h^{(k+1)}(t)&=(h^{(k)}(t))'\\&={\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}'\\&=\sum _{j=1}^{n}D_{j}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}\right)}v_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k})\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}\right)}\\&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{k},j)\in {\{1,\ldots ,n\}}^{k+1}}D_{j}D_{i_{k}}\cdots D_{i_{1}}f(P+tv)\cdot v_{i_{1}}\cdots v_{i_{k}}v_{j}.\end{aligned}}$ 

Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{k})$ in ${}{\{1,\ldots ,n\}}^{k}$, bei denen die Zahl ${}i$ genau ${}r_{i}$-mal vorkommt, wird durch die Polynomialkoeffizienten

${}{\binom {k}{r}}={\frac {k!}{r!}}={\frac {k!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\,$

beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage