Mehrere Variablen/k fach stetig differenzierbar/Längs einer Geraden/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen durch Induktion über , dass

gilt. Hier wird also über jede Richtungsreihenfolge der Länge aufsummiert, später werden wir unter Verwendung des Satzes von Schwarz gleiche Summanden zusammenfassen. Für ist

  

Der Induktionsschluss ergibt sich aus

 

Aufgrund des Satzes von Schwarz kommt es nicht auf die Reihenfolge der Richtungableitungen an, d.h. zwei Summanden in der obigen Summe stimmen überein, wenn darin die jeweiligen Richtungsableitungen gleichhäufig vorkommen. Die Anzahl der Tupel in , bei denen die Zahl genau -mal vorkommt, wird durch die Polynomialkoeffizienten

beschrieben. Daraus ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage