Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir müssen zeigen, dass das von erzeugte Dynkin-System eine -Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge  mit betrachten wir das Mengensystem

Wir müssen zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für gilt , da durchschnittsstabil ist. Daher ist für alle . Dann ist aber auch für alle und somit generell .
Zur bewiesenen Aussage