Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass das von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte Dynkin-System ${}{\mathcal {D}}$ eine ${}\sigma$-Algebra ist. Dazu genügt es aufgrund von Fakt zu zeigen, dass ${}{\mathcal {D}}$ durchschnittsstabil ist. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ mit ${}T\in {\mathcal {D}}$ betrachten wir das Mengensystem

${}{\mathcal {D}}_{T}={\left\{S\in {\mathcal {D}}\mid T\cap S\in {\mathcal {D}}\right\}}\,.$

Wir müssen

${}{\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}\,$

zeigen, denn dies bedeutet die Durchschnittsstabilität. Eine direkte Überlegung zeigt, dass ${}{\mathcal {D}}_{T}$ ebenfalls ein Dynkin-System ist. Für ${}E\in {\mathcal {E}}$ gilt ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{E}$, da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittsstabil ist. Daher ist ${}{\mathcal {D}}_{E}={\mathcal {D}}$ für alle ${}E\in {\mathcal {E}}$. Dann ist aber auch ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}_{T}$ für alle ${}T\in {\mathcal {D}}$ und somit generell ${}{\mathcal {D}}_{T}={\mathcal {D}}$.

Zur bewiesenen Aussage