Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität

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Definition[Bearbeiten]

Es sei ein Gebiet und . Ist eine holomorphe Funktion, so heißt eine isolierte Singularität von .

Klassifikation[Bearbeiten]

Je nach dem Verhalten von in der Umgebung von unterscheidet man drei verschiedene Arten isolierter Singulariäten von .

hebbare Singularitäten[Bearbeiten]

Ist auf das ganze Gebiet holomorph fortsetzbar, so sagt man, sei eine hebbare Singularität. Das ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz dann der Fall, wenn in einer Umgebung von beschränkt ist.

Pole[Bearbeiten]

Ist keine hebbare Singularität, aber gibt es ein , so dass eine hebbare Singularität in hat, so sagt man, habe einen Pol in . Das kleinste solche heißt die Ordnung des Pols.

Wesentliche Singularitäten[Bearbeiten]

Ist weder hebbar noch ein Pol, so sagt man, sei eine wesentliche Singularität von .

Beispiele[Bearbeiten]

  • Wegen hat die Funktion eine hebbare Singularität in .
  • Die Funktion hat in keine hebbare Singularität, da in unbeschränkt ist, aber hat in einen Pol erster Ordnung, da wegen in 0 eine hebbare Singularität hat.
  • Die Funktion hat in eine wesentliche Singularität, da für jedes die Funktion in jeder Umgebung der Null unbeschränkt ist. Um das einzusehen, betrachte . Für mit ist also , was für divergiert.

Laurententwicklungen[Bearbeiten]

Die Art der isolierten Singularität lässt sich auch an der Laurententwicklung von um ablesen. Sei nämlich

die Laurent-Reihe von um . Wir setzen

.

Dann hat im Falle

  • , d.h. alle negativen Koeffizienten verschwinden, der Hauptteil der Reihe ist Null, eine hebbare Singularität
  • , d.h. nur endlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, einen Pol der Ordnung
  • , d.h. unendlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, eine wesentliche Singularität.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir betrachten unsere drei Beispiele von oben noch einmal:

  • Es ist , also , eine hebbare Singularität.
  • Es ist

also , ein Pol erster Ordnung.

  • Es ist , also , eine wesentliche Singularität.