Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Aussage

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen $f_{1},f_{2}\colon U\to \mathbb {C}$ sind äquivalent:

(1) $f_{1}=f_{2}$ (d.h. $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ für alle $x\in U$ )
(2) Es gibt ein $z_{0}\in U$ mit $f_{1}^{(n)}(z_{0})=f_{2}^{(n)}(z_{0})$ für alle $n\in \mathbb {N} _{o}$ .
(3) Die Menge $\{z\in U:f_{1}(z)=f_{2}(z)\}$ hat unendlich viele Elemente mit einen Häufungspunkt in $U$ .

Beweis

Durch Betrachtung von $f:=f_{1}-f_{2}$ dürfen wir o. E. annehmen, dass $f=0$ . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

(N1) $f=0$ (d.h. $f(x)=0$ für alle $x\in U$ )
(N2) Es gibt ein $z_{0}\in U$ mit $f^{(n)}(z_{0})=0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{o}$ .
(N3) Die Nullstellenmenge $N_{f}:=\{z\in U:f(z)=0\}$ hat unendlich viele Elemente mit einem Häufungspunkt in $U$

Wenn man z.B. $(N1)\Rightarrow (N2)$ für $f$ gezeigt hat, gilt automatisch auch $(1)\Rightarrow (2)$ für den Vergleich von $f_{1}$ und $f_{2}$ .

Beweistyp

Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

(1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1)

Beweis (N1) nach (N2)

(N1) $\Rightarrow$ (N2) ist offensichtlich richtig, denn bei jeder konstanten Funktion (also insbesondere der Nullfunktion) sind alle höheren Ableitung $f^{(n)}(z)=0$ für alle $z$ aus dem Definitionsbereich. Man wählt einfach einen Punkt für Nullfunktion $f$ und erhält die Aussage für die n-ten Ableitung.

Beweis (N2) nach (N3)

Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ in $B_{r}(z_{0})$ mit $r>0$ . Es ist $a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Also ist $f|_{B_{r}(z_{0})}=0$ , es folgt (N3).

Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis

Zu dem Beweisschritt (N3) $\Rightarrow$ (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und $f$ nicht die Nullfunktion ist.

Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt

Gelte nun (N3), d. h. die Menge $N_{f}$ der Nullstellen von $f$ habe einen Häufungspunkt $z_{0}\in U$ . Es gebe also eine Folge $(z_{n})\in U^{\mathbb {N} }$ mit $z_{n}\to z_{0}$ und $f(z_{n})=0$ sowie $z_{n}\neq z_{0}$ , für alle $n\in \mathbb {N}$ . Sei nun $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$ die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $z_{0}$ .

Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

Angenommen, es gäbe ein $n\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\neq 0$ , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von $\mathbb {N}$ auch ein kleinstes solches $n$ . Es wäre

f(z)=(z-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z-z_{0})^{k},\qquad |z-z_{0}|<r,a_{n}\neq 0

Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung

Für jedes $i\in \mathbb {N}$ wäre also

0=f(z_{i})=(z_{i}-z_{0})^{n}\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}

Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess

Wegen $z_{i}\neq z_{0}$ und $\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z_{0}$ erhält man:

0=\sum _{k=0}^{\infty }a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}\to a_{n},\qquad i\to \infty

Da $a_{n+k}(z_{i}-z_{0})^{k}\to 0$ für alle $k>0$ für $i\to \infty$ . Dies steht im Widerspruch zu $a_{n}\neq 0$ . Also ist $a_{n}=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und damit $f^{(n)}(z_{0})=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , d. h. (N2) gilt.

Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen

Gilt (N2), setze $V:=\bigcap _{n\geq 0}\{z\in U\,|\,f^{(n)}(z)=0\}$ . $V$ ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in $U$ , da die $f^{(n)}$ stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier $\{0\}$ ) wieder abgeschlossen sind.

Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen

$V$ ist aber zugleich auch offen in $U$ , da in jedem $w\in V$ die Potenzreihenentwicklung von $f$ um $w$ verschwindet, also ist $f$ lokal um $w$ gleich $0$ . Wegen $z_{0}\in V$ ist $V$ nichtleer und damit $V=U$ wegen des Zusammenhangs von $U$ .

Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3)

Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige $g:U\to \mathbb {C}$ und $h:U\to \mathbb {C}$ , wenn man (N1)-(N3) auf $f:=g-h$ anwendet.