Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz

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Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.

Aussage[Bearbeiten]

Sei ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen sind äquivalent:

  • (1) (d.h. für alle )
  • (2) Es gibt ein mit für alle .
  • (3) Die Menge hat einen Häufungspunkt in .

Beweis[Bearbeiten]

Durch Betrachtung von dürfen wir o. E. annehmen, dass . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:

  • (N1) (d.h. für alle )
  • (N2) Es gibt ein mit für alle .
  • (N3) Die Nullstellenmenge hat einen Häufungspunkt in

Beweistyp[Bearbeiten]

Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss

Beweis (N1) nach (N2)[Bearbeiten]

(N1) (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion die n-ten Ableitung betrachtet.

Beweis (N2) nach (N3)[Bearbeiten]

Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung in mit . Es ist für alle . Also ist , es folgt (N3).

Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis[Bearbeiten]

Zu dem Beweisschritt (N3) (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und nicht die Nullfunktion ist.

Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt[Bearbeiten]

Gelte nun (N3), d. h. die Menge der Nullstellen von habe einen Häufungspunkt . Es gebe also eine Folge mit und sowie , für alle . Sei nun die Potenzreihenentwicklung von um .

Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung[Bearbeiten]

Angenommen, es gäbe ein mit , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von auch ein kleinstes solches . Es wäre

Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung[Bearbeiten]

Für jedes wäre also

Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess[Bearbeiten]

Wegen und erhält man:

Da für alle für . Dies steht im Widerspruch zu . Also ist für alle und damit für alle , d. h. (N2) gilt.

Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen[Bearbeiten]

Gilt (N2), setze . ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in , da die stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier ) wieder abgeschlossen sind.

Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen[Bearbeiten]

ist aber zugleich auch offen in , da in jedem die Potenzreihenentwicklung von um verschwindet, also ist lokal um gleich . Wegen ist nichtleer und damit wegen des Zusammenhangs von .

Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3)[Bearbeiten]

Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige und , wenn man (N1)-(N3) auf anwendet.

Siehe auch[Bearbeiten]

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