Meromorphe Funktion/C/Keim/Ordnung/Algebraische Eigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und sei ${}{\mathcal {M}}_{P}$ der Körper der Keime von meromorphen Funktionen, die in einer offenen Umgebung von ${}P$ definiert sind. Zeige, dass die Ordnung

${\mathcal {M}}_{P}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} {\left(f\right)},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. ${}\operatorname {ord} {\left(fg\right)}=\operatorname {ord} {\left(f\right)}+\operatorname {ord} {\left(g\right)}\,.$

2. ${}\operatorname {ord} {\left(f+g\right)}\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} {\left(f\right)},\,\operatorname {ord} {\left(g\right)}\right)\,.$

3. Es ist ${}f$ ein holomorpher Keim genau dann, wenn

   ${}\operatorname {ord} {\left(f\right)}\geq 0\,$

   gilt.

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