Meromorphe Funktion/Residuum/Ableitungsberechnung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben

{}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,

mit der holomorphen Funktion

{}g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\,.

Dann besitzt ${}f$ die Laurent-Reihe

{}f(z)=(z-P)^{-m}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\right)}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n-m}\right)}\,

und das Residuum von ${}f$ in ${}P$ ist gleich ${}c_{m-1}$ . Somit ist

{}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=c_{m-1}={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,

nach Fakt.