Konvergente Potenzreihe/Taylor-Reihe/Übereinstimmung/Fakt

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$ und

$f\colon U{\left(a,r\right)}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

die dadurch definierte Funktion.

Dann ist ${}f$ unendlich oft differenzierbar und die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}a$ stimmt mit der vorgegebenen Potenzreihe überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen