Beweis
Wir zeigen, dass die
Urbilder
von Mengen der Form
unter der Grenzfunktion
messbare Mengen
sind. Daraus folgt nach
Fakt
die Messbarkeit von
. Für jedes
gilt die Gleichheit
-

Zum Beweis dieser Gleichheit sei zuerst
.
Dann gilt auch
für ein hinreichend großes
. D.h. dass
eine offene Umgebung von
ist. Dann gehört
auch zur inneren Vereinigung der rechten Seite, da diese die mengentheoretische Formulierung für den Sachverhalt ist, dass es ein
derart gibt, dass für alle
die Folgenglieder
ebenfalls zu
gehören. Wenn hingegen
zur rechten Seite gehört, so bedeutet dies, dass es
derart gibt, dass für alle
die Beziehung
besteht. Dann gilt für den Limes
und damit
.
Die rechte Seite der Gleichung zeigt, dass es sich um eine messbare Menge handelt, da abzählbare Durchschnitte und abzählbare Vereinigungen von messbaren Mengen wieder messbar sind.