Messraum/Messbare Funktion/Subgraph ist messbar/Fakt/Beweis

Beweis

Die Projektion

$p_{2}\colon M\times {\overline {\mathbb {R} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto y,$

ist nach Fakt messbar, und ebenso ist

$\psi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Nach Fakt und Fakt ist dann auch die Abbildung

$\varphi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {\psi \times p_{2}}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {-}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Es ist

${}\Gamma (f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid y=f(x)\right\}}=\varphi ^{-1}(0)\,$

und

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}=p_{2}^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\cap \varphi ^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\,,$

sodass diese beiden Mengen messbar sind.

Zur bewiesenen Aussage