Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst $T$ abgeschlossen und eine Folge  ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\in T$  gegeben, die in $M$ gegen  $x\in M$  konvergiert. Wir müssen zeigen, dass  $x\in T$  ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt $x$ im offenen Komplement von $T$ und daher gibt es ein  $ϵ>0$  derart, dass der gesamte $ϵ$-Ball $U(x,ϵ)$ im Komplement von $T$ liegt. Also ist

$T\cap U(x,ϵ)=\mathrm{\varnothing }.$

Da die Folge aber gegen $x$ konvergiert, gibt es ein $n_0$ derart, dass alle Folgenglieder $x_n$, $n\ge n_0$, zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in $T$ liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Es sei nun $T$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in $T$ konstruieren, die in $M$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu $T$ gehört. Da $T$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement  $U:=M\setminus T$  nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt  $x\in U$  derart, dass in jedem $ϵ$-Ball von $x$ auch Punkte außerhalb von $U$, also in $T$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  der Durchschnitt

$T\cap U(x,\frac{1}{n})\ne \mathrm{\varnothing }.$

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element $x_n$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in $T$. Die Folge konvergiert gegen $x$, da man sich hierzu auf

$ϵ=1/n$

beschränken kann und alle Folgenglieder $x_m$, $m\ge n$, in  $U(x,\frac{1}{m})\subseteq U(x,\frac{1}{n})$  liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und  $x\notin T$ 

ist, konvergiert die Folge in $T$ nicht.

Zur gelösten Aufgabe