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Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Menge. Eine Abbildung heißt Metrik (oder Distanzfunktion), wenn für alle die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. genau dann, wenn ist (Definitheit),
  2. (Symmetrie), und
  3. (Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar , wobei eine Menge und eine Metrik ist.

Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert gibt den Abstand der Punkte und bezüglich an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden.


Beispiel  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

der zugehörige Abstand. Dieser besitzt nach Fakt die Eigenschaften einer Metrik. Insbesondere ist im der durch

gegebene euklidische Abstand eine Metrik.


Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den und den stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen mit der durch den Betrag definierten Metrik metrische Räume. Als gemeinsame Bezeichnung für und werden wir wieder verwenden.

Die Summenmetrik heißt auch Taxi-Metrik. Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand.


Beispiel  

Auf dem ist

eine Metrik, die man die Summenmetrik nennt.



Beispiel  

Auf dem ist

eine Metrik, die man die Maximumsmetrik nennt.



Beispiel  

Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Dann ist ebenfalls ein metrischer Raum, wenn man

für alle setzt. Diese Metrik heißt die induzierte Metrik.



Beispiel  

Zu einer beliebigen Menge kann man durch

eine Metrik definieren, die die diskrete Metrik heißt.