Es sei ein
metrischer Raum und sei eine
Folge
in . Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
, ,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert
(ohne Bezug auf einen Grenzwert),
andernfalls, dass sie divergiert.
Diese Definition stimmt natürlich für
mit unserem bisherigen Begriff für konvergente Folge überein. Allerdings hatten wir, als wir diesen Begriff für angeordnete Körper einführten, die reellen Zahlen selbst noch nicht zur Verfügung. Die Bedingung kann man auch so ausdrücken, dass für
stets
ist. Da die Eigenschaft für alle positiven gilt, kann man genauso gut mit offenen Bällen arbeiten.
Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen
.
Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei
(ohne Einschränkung)
und
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein
mit
für alle
.
Daher ist
Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein
vorgegeben. Wir setzen
und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass
für alle
gilt. Dann gilt für alle
die Beziehung
Insbesondere konvergiert eine Folge von komplexen Zahlen genau dann, wenn die zugehörigen Folgen der Realteile und der Imaginärteile konvergieren.