Modallogik/K/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Modallogik heißt eine ${}K$-Modallogik, wenn das Axiomenschema

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$

für beliebige Ausdrücke ${}\alpha ,\beta$ und die Ableitungsregel Nezessisierungsregel

aus ${}\vdash \alpha$ folgt ${}\vdash \Box \alpha$

für alle ${}\alpha$ gilt.

Das Axiomenschema ${}K$ ist äquivalent zum Axiomenschema

$\Diamond \gamma \rightarrow (\Diamond \neg \alpha \vee \Diamond (\alpha \wedge \gamma )),$

siehe Aufgabe.

Definition

Man sagt, dass ein modallogischer Ausdruck ${}\alpha$ aus dem ${}K$-System ableitbar ist, wenn sich ${}\alpha$ aus aussagenlogischen Tautologien und aus Instanzen des ${}K$-Axioms mit Hilfe des Modus ponens oder der Nezessisierungsregel ergibt. Dafür schreibt man

$\vdash \alpha .$

Lemma

In einer ${}K$-Modallogik sind folgende Aussagen ableitbar.

1. Aus

   $\vdash \alpha \rightarrow \beta$

   folgt

   $\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$

2. Aus

   $\vdash \alpha \rightarrow \beta$

   folgt

   $\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta .$

3. $\vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .$

4. $\vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )$

5. $\vdash \Box \neg \neg \alpha \leftrightarrow \Box \alpha .$

Beweis

(1). Nach der Nezessisierungsregel gilt

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$

und nach dem ${}K$-Axiom gilt

$\vdash \Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow {\left(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta \right)}.$

Durch Modus ponens ergibt sich

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box \beta .$

(2). Aus

$\vdash \alpha \rightarrow \beta$

folgt durch Kontraposition zunächst

$\vdash \neg \beta \rightarrow \neg \alpha$

und daraus nach Teil (1)

$\vdash \Box \neg \beta \rightarrow \Box \neg \alpha$

Erneutes kontraponieren ergibt

$\vdash \neg \Box \neg \alpha \rightarrow \neg \Box \neg \beta ,$

was

$\vdash \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta$

bedeutet.

(3). Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$

ergibt sich aus (1) direkt

$\vdash \Box (\alpha \wedge \beta )\rightarrow \Box \alpha .$

(4). Aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \rightarrow (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )$

ergibt sich mit (1) zunächst

$\vdash \Box \alpha \rightarrow \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta ).$

Aufgrund des ${}K$-Axioms gilt

$\vdash \Box (\beta \rightarrow \alpha \wedge \beta )\rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )).$

Der Kettenschluss liefert

$\vdash \Box \alpha \rightarrow (\Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )),$

was aussagenlogisch äquivalent zu

$\vdash \Box \alpha \wedge \Box \beta \rightarrow \Box (\alpha \wedge \beta )$

ist.

(5) ergibt sich aus der aussagenlogischen Tautologie

$\vdash \alpha \leftrightarrow \neg \neg \alpha$

und Teil (1).

$\Box$

Die erste der eben bewiesenen Eigenschaften der ${}K$-Modallogik bedeutet insbesondere, dass man in der Reichweite eines Notwendigkeitsoperators einen Ausdruck durch einen jeden aussagenlogisch äquivalenten Ausdruck ersetzen kann.