Modul/Homomorphismus/Injektiv/Lokaler Test/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist injektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ injektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

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