Es seien
erzeugende Elemente von
. Dann ist insbesondere
für jedes
eine
-Linearkombination der
, wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet
-

mit
. Wir fassen den
-Modul
zusammen mit dem Endomorpphismus
als ein
-Modul auf, wobei die Variable
wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom
und
-

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich
-

Dies schreiben wir als
-

Nennen wir diese Matrix
(die Einträge sind aus
),
und sei
die
adjungierte Matrix.
Dann gilt
(
bezeichne den Vektor
)
und
nach der Cramerschen Regel
ist
,
also gilt
.
Es ist also
für alle
und damit
-

für alle
. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in
vom Grad
, und die Gleichheit bedeutet
-

für alle
, also ist
-

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.