Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt/Beweis

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Beweis

Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der , wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

mit . Wir fassen den -Modul zusammen mit dem Endomorpphismus als ein -Modul auf, wobei die Variable wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom und

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , und die Gleichheit bedeutet

für alle , also ist

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.