Modul/Ideal/Cayley-Hamilton/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$ . Dann ist insbesondere ${}\varphi (y_{i})$ für jedes ${}i$ eine ${}R$ -Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$ , wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

{}\varphi (y_{i})=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,

mit ${}r_{ij}\in {\mathfrak {a}}$ . Wir fassen den ${}R$ -Modul ${}M$ zusammen mit dem Endomorpphismus ${}\varphi$ als ein ${}R[X]$ -Modul auf, wobei die Variable ${}X$ wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom ${}F\in R[X]$ und ${}y\in M$

{}Fy=F(\varphi )(y)\,.

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

{}X{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&.&.&r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&.&.&r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\r_{n,1}&r_{n,2}&.&.&r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.

Dies schreiben wir als

{}0={\begin{pmatrix}X-r_{1,1}&-r_{1,2}&.&.&-r_{1,n}\\-r_{2,1}&X-r_{2,2}&.&.&-r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\-r_{n,1}&-r_{n,2}&.&.&X-r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}R[X]$ ), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ ( ${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ ) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$ , also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$ . Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit