Modul/Komplettierung/Modulstruktur/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul sei mit der Filtration ${}{\mathfrak {a}}^{n}M$ versehen.

Dann besitzt die Komplettierung ${}{\hat {M}}$ eine natürliche Struktur als ${}{\hat {R}}$-Modul.

Dabei ist

${}(r_{n})(m_{n}):=(r_{n}m_{n})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen