Komplettierung/Modul/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Wir verallgemeinern die Komplettierung des Ringes bezüglich des gegebenen Ideals in zweifacher Weise: Einerseits wollen wir ${}R$-Moduln vervollständigen, andererseits wollen wir nicht nur Idealketten der Form

${}{\mathfrak {a}}\supseteq {\mathfrak {a}}^{2}\supseteq {\mathfrak {a}}^{3}\,$

etc. zulassen, sondern einfach eine absteigende Familie von Untermoduln.

Definition

Es sei ${}(M,0,+)$ eine kommutative Gruppe und ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine absteigende Familie von Untergruppen. Dann heißt

${}{\hat {M}}={\left\{{\left(m_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid m_{n}\in M/M_{n}{\text{ kompatibel}}\right\}}\,$

die Komplettierung von ${}M$.

Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$M\longrightarrow {\hat {M}}.$

Diese Konstruktion wird insbesondere für den Fall eines ${}R$-Moduls ${}M$ und eines Ideals

${}{\mathfrak {a}}\subseteq R\,$

auf die Familie der Untermoduln ${}{\mathfrak {a}}^{n}M$, ${}n\in \mathbb {N}$, angewendet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul sei mit der Filtration ${}{\mathfrak {a}}^{n}M$ versehen.

Dann besitzt die Komplettierung ${}{\hat {M}}$ eine natürliche Struktur als ${}{\hat {R}}$-Modul.

Dabei ist

${}(r_{n})(m_{n}):=(r_{n}m_{n})\,.$

Beweis

Der wesentliche Punkt ist hier dass ${}M/{\mathfrak {a}}^{n}M$ ein ${}R/{\mathfrak {a}}^{n}$-Modul ist.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal. Es sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die natürliche Abbildung

$M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}},\,m\otimes (f_{n})\longmapsto (f_{n}m),$

linear über ${}{\hat {R}}$.

Beweis

Nach Fakt besitzt ${}{\hat {M}}$ eine ${}{\hat {R}}$-Modulstruktur, d.h es gibt eine Abbildung

$M\times {\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}},$

die ${}R$-multilinear ist. Dies definiert eine ${}R$-lineare Abbildung

$M\otimes _{R}{\hat {R}}\longrightarrow {\hat {M}}.$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Dann gibt es einen natürlichen ${}{\hat {R}}$-Modulhomomorphismus

${\hat {\varphi }}\colon {\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}},$

wobei alle Komplettierungen bezüglich des gegebenen Ideals zu verstehen sind.

Beweis

Zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es natürliche ${}R/{\mathfrak {a}}^{n}$-Modulhomomorphismen

$\varphi _{n}\colon M/{\mathfrak {a}}^{n}M\longrightarrow N/{\mathfrak {a}}^{n}N,$

da ja ${}{\mathfrak {a}}^{n}M$ unter ${}\varphi$ nach ${}{\mathfrak {a}}^{n}N$ abgebildet wird. Dies ergibt einen Gruppenhomomorphismus

${\hat {M}}\longrightarrow {\hat {N}}.$

Dieser respektiert die in Fakt beschriebene Modulstruktur.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und seien ${}M$ und ${}N$ ${}R$-Moduln.

Dann ist

${}{\widehat {M\times N}}={\hat {M}}\times {\hat {N}}\,.$

Beweis

Dies ergibt sich aus

${}(M\times N)/{\mathfrak {a}}^{n}(M\times N)\cong M/{\mathfrak {a}}^{n}M\times N/{\mathfrak {a}}^{n}N\,.$

$\Box$

Lemma

Modul/Komplettierung/Verfeinerungsfamilie/Fakt

Beweis

Modul/Komplettierung/Verfeinerungsfamilie/Fakt/Beweis

$\Box$