Modultheorie/Hauptidealbereiche/Elementarteilersatz/Fakt

Elementarteilersatz (Modultheorie über Hauptidealbereichen)

Es sei ${}U$ ein Untermodul eines endlichen, freien Moduls ${}M$ mit Rang ${}r$ über dem Hauptidealbereich ${}R$.

Dann besitzt ${}U$ ein Erzeugendensystem ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$, für das gilt:

1. Es gibt eine Basis ${}x_{1},\ldots ,x_{r}$ von ${}M$ und Ringelemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}\in R$ mit ${}u_{i}=e_{i}x_{i}$ für alle ${}i\in \{1,\ldots ,n\}$.
2. Die ${}e_{i}$ sind alle von ${}0$ verschieden.
3. ${}e_{i+1}$ teilt ${}e_{i}$ für ${}i\in \{1,\ldots ,n-1\}$.

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