Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition

Primärkomponente

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein Modul.

Es sei nun ${}p$ ein Primelement in ${}R$. Der Untermodul ${}M(p)$ aller von einer Potenz von ${}p$ annullierten Elemente von ${}M$ heißt die ${}p$-Primärkomponente von ${}M$.

Es ist also

$M(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }M^{\nu }(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb {N} }\left\{x\in M:p^{\nu }x=0\right\}.$

${}M^{1}(p)$ wird ${}p$-Sockel von ${}M$ genannt.

Bei ${}M=M(p)$ für ein Primelement ${}p$ heißt ${}M$ ein Primärmodul.