Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärkomponente/Definition

Primärkomponente

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $M$ ein Modul.

Es sei nun $p$ ein Primelement in $R$. Der Untermodul $M(p)$ aller von einer Potenz von $p$ annullierten Elemente von $M$ heißt die $p$-Primärkomponente von $M$.

Es ist also

$M(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb{N}}{M}^{\nu }(p):=\bigcup _{\nu \in \mathbb{N}}\{x\in M:p^{\nu }x=0\}.$

$M^1(p)$ wird $p$-Sockel von $M$ genannt.

Bei $M=M(p)$ für ein Primelement $p$ heißt $M$ ein Primärmodul.