Modultheorie/Hauptidealbereiche/endliche torsionsfreie Moduln sind frei/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die Anzahl ${}n$ der Erzeugenden der endlichen, torsionsfreien Moduln. Für ${}n=0$ gibt es nur den Nullmodul, der trivialerweise frei ist.

Es sei daher jeder endliche, torsionsfreie Modul mit weniger als n Erzeugern frei. Es sei ${}M=Ax_{1}+\ldots +Ax_{n}$ torsionsfrei.

Sind die Erzeuger ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig, so handelt es sich um eine Basis und wir sind fertig.

Sind die Erzeuger nicht linear unabhängig, so gibt es eine nichttriviale Relation ${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$, wobei o.B.d.A. ${}a_{1}\neq 0$ ist. Es sei ${}m\in M$ ein beliebiges Element mit einer Darstellung ${}m=b_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}x_{n}$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}a_{1}m&=b_{1}a_{1}x_{1}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=-b_{1}(a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n})+b_{2}a_{1}x_{2}+\cdots +b_{n}a_{1}x_{n}\\&=(b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})x_{2}+\cdots +(b_{n}a_{1}-b_{1}a_{n})x_{n}\end{aligned}}$

${}a_{1}M$ liegt daher im von ${}x_{2},\ldots ,x_{n}$ erzeugten Untermodul ${}M'=Rx_{2}+\ldots +Rx_{n}$. Weil ${}M$ torsionsfrei ist, ist ${}a_{1}M$ isomorph zu ${}M$ und hat als Untermodul von ${}M'$ nach Fakt ein Erzeugendensystem aus ${}n-1$ Erzeugern. Daher ist ${}a_{1}M$ nach Induktionsvoraussetzung frei.

Zur bewiesenen Aussage