Modultheorie/Ideale r Erzeuger/Modul n Erzeuger/Untermoduln nr Erzeuger/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir führen Induktion über . Der Induktionsanfang ist klar, denn der Nullmodul, der von Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als Untermodul.

Sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als Elementen erzeugt werden, bewiesen. Sei ein Untermodul eines Moduls mit Erzeugern .

Wir betrachten . Sei die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft . Der Restklassenmodul wird von erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher ein Erzeugendensystem mit Erzeugern:

wobei die aus gewählt seien.

ist ein Untermodul von und damit gemäß Fakt isomorph zu einem Ideal von . Ein Ideal von ist bezüglich der kanonischen Projektion das Bild eines Ideals in und für alle Ideale in gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus Elementen. Deshalb kann der Untermodul von Elementen

erzeugt werden, wobei die aus dem Ideal stammen.

Wir behaupten, dass von den , , und den , , zusammen erzeugt wird. Sei dazu . Dann ist und somit ist

Also ist

und lässt sich als Linearkombination der angegebenen Elemente schreiben.