Modultheorie/Ideale r Erzeuger/Modul n Erzeuger/Untermoduln nr Erzeuger/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Der Induktionsanfang ${}(n=0)$ ist klar, denn der Nullmodul, der von ${}0$ Elementen erzeugt wird, hat nur sich selbst als Untermodul.

Es sei der Sachverhalt also für Moduln, die von weniger als ${}n$ Elementen erzeugt werden, bewiesen. Es sei ${}U\subseteq M$ ein Untermodul eines Moduls ${}M$ mit ${}n$ Erzeugern ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$.

Wir betrachten ${}M/Rx_{1}$. Es sei ${}p$ die zugehörige kanonische Projektion. Diese hat die Eigenschaft ${}\operatorname {kern} p=Rx_{1}$. Der Restklassenmodul ${}M/Rx_{1}$ wird von ${}[x_{2}],\ldots ,[x_{n}]$ erzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung hat daher ${}p(U)$ ein Erzeugendensystem mit ${}(n-1)\cdot r$ Erzeugern:

$[y_{j}],1\leq j\leq (n-1)\cdot r,$

wobei die ${}y_{j}$ aus ${}U$ gewählt seien.

${}(\operatorname {kern} p)\cap U\subseteq Rx_{1}$ ist ein Untermodul von ${}Rx_{1}\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ und damit gemäß Fakt isomorph zu einem Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$. Ein Ideal von ${}R/\operatorname {Ann} _{R}(x_{1})$ ist bezüglich der kanonischen Projektion das Bild eines Ideals in ${}R$ und für alle Ideale in ${}R$ gibt es nach Voraussetzung ein Erzeugendensystem aus ${}r$ Elementen. Deshalb kann der Untermodul ${}(\operatorname {kern} p)\cap U$ von ${}r$ Elementen

$z_{1}=c_{1}x_{1},\ldots ,z_{r}=c_{r}x_{1}$

erzeugt werden, wobei die ${}c_{i}$ aus dem Ideal stammen.

Wir behaupten, dass ${}U$ von den ${}z_{i}$, ${}1\leq i\leq r$, und den ${}y_{j}$, ${}1\leq j\leq (n-1)r$, zusammen erzeugt wird. Es sei dazu ${}u\in U$. Dann ist ${}p(u)=\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}p(y_{j})$ und somit ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}\in (\operatorname {kern} p)\cap U.$

Also ist

$u-\sum _{j=1}^{(n-1)r}a_{j}y_{j}=\sum _{i=1}^{r}b_{i}z_{i}$

und ${}u$ lässt sich als Linearkombination der angegebenen ${}nr$ Elemente schreiben.

Zur bewiesenen Aussage