Monoidring/C/Graduierung/Zyklische Gruppe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/Bemerkung

Wir betrachten eine Graduierung des Polynomringes ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell ):=D$

in eine endliche zyklische Gruppe. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\delta (e_{j})$ ein Erzeuger von ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ für jeden Standardvektor ${}e_{j}\in \mathbb {Z} ^{n}$ ist. Dann ist die zugehörige Operation der Charaktergruppe ${}G=D^{\vee }=\mu _{\ell }{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ fixpunktfrei. Zu ${}x\neq 0$ sei ${}x_{j}\neq 0$. Für jeden Charakter ${}\chi \neq 1$ gilt

${}\chi (x)=(\ldots ,\chi (\delta (e_{j}))x_{j},\ldots )\neq (\ldots ,x_{j},\ldots )\,,$

da ${}\delta (e_{j})$ nach Voraussetzung ein Erzeuger ist und somit ${}\chi (\delta (e_{j}))\neq 1$ ist. Bei ${}n\geq 2$ ist in einem solchen Fall die Fundamentalgruppe von

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\}$

(wobei ${}P$ das Bild des Nullpunktes sei) aufgrund von Fakt gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$.