Monoidring/Graduierung/Z^3 nach Kleinsche Vierergruppe/Fixpunktfreier Ort/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)=:D$

mit

$\delta (e_{1})=(1,0),\,\delta (e_{2})=(0,1),\,\delta (e_{3})=(1,1)$

festgelegte Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V,W]$. Die zugehörige lineare Operation auf dem ${}{\mathbb {C} }^{3}$ ist durch die Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

gegeben. Die drei letzten Matrizen besitzen jeweils eine Fixgerade, daher ist die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{3}\setminus \{0\}$ nicht fixpunktfrei, dagegen ist die Operation auf ${}X={\mathbb {C} }^{3}\setminus Z$, wobei ${}Z={\mathbb {C} }e_{1}\cup {\mathbb {C} }e_{2}\cup {\mathbb {C} }e_{3}$ die Vereinigung der Achsen bezeichnet, frei. Da ${}Z$ die (komplexe) Kodimension ${}2$ besitzt, ist ${}X$ einfach zusammenhängend. Der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]$ mit der Relation ${}(UVW)^{2}=U^{2}V^{2}W^{2}$. Daher ist nach Fakt die Fundamentalgruppe von ${}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[U^{2},V^{2},W^{2},UVW]\right)}_{\mathbb {C} }\setminus q(Z)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.