Monoidring/Veronese/2dimensional/Graduierung/Beispiel

Es sei  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  fixiert. Wir betrachten das Monoid  $M\subseteq {\mathbb{Z}}^2$,  das durch die Vektoren

$(0,1),(1,1),(2,1),\dots ,(k-1,1),(k,1)$

erzgeut wird. Das Differenzengitter des Monoids ist der umgebende ${\mathbb{Z}}^2$. Das Monoid kann man auch mit einem Kegel beschreiben, und zwar mit dem durch die beiden Linearformen  ${\pi }_1=(1,0)$  und  ${\pi }_2=(-1,k)$  festgelegten Kegel $C$. Für die Gleichheit  $M=C\cap {\mathbb{Z}}^2$  muss man sich klar machen, dass man jeden Gitterpunkt innerhalb des Kegels als eine additive Kombination der vorgegebenen $k+1$ Vektoren schreiben kann. Insbesondere ist somit das Monoid normal. Wir wollen dieses Monoid mit einer Graduierung im Sinne von Fakt beschreiben. Dazu fassen wir die beiden Linearformen zu einer (injektiven) Abbildung

$\pi :{\mathbb{Z}}^2⟶{\mathbb{Z}}^2$

zusammen, wobei für die Standardvektoren  $\pi (1,0)=(1,-1)$  und  $\pi (0,1)=(0,k)$  gilt (die Bilder der erzeugenden Vektoren $(j,1)$ sind $\pi (j,1)=(j,k-j)$). Es ist also  $\pi ({\mathbb{Z}}^2)=\mathrm{\Delta }=⟨(1,-1),(0,k)⟩$  und dies ist auch der Kern unter dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\delta :{\mathbb{Z}}^2⟶\mathbb{Z}/(k)$

mit

$\delta (e_1)=\delta (e_2)=1.$

Der Monoidring $R[M]$ ist isomorph zum Unterring

$R[X^k,X^{k-1}Y,X^{k-2}{Y}^2,\dots ,Y^k]\subseteq R[X,Y].$